用割圓術(shù)計(jì)算圓周率會(huì)遇到計(jì)算上的極大困難。
阿基米德從圓的內(nèi)接和外切正六邊形開始計(jì)算，然后把邊數(shù)加倍到12邊、24邊、48邊，最后直至96邊。他證明了“圓周率小于3又7分之1而大于3又71分之10”。這表明精確到兩位小數(shù)的值就是π≈3.14.
弗蘭西斯·韋達(dá)(1540～1603)于1579年用6×2¹?=393216邊的正多邊形求出π精確到9位小數(shù)的值。魯?shù)婪?middot;范·休倫(1540～1610)用2?²邊的多邊形計(jì)算π精確到35位小數(shù)的值。據(jù)說這個(gè)計(jì)算耗費(fèi)了他幾乎一生時(shí)光。
不幸的是，以上計(jì)算過程中的每一次新的近似都需要求一個(gè)新的平方根。
阿基米德的五重平方根得到兩位小數(shù)的精度，更糟糕的是韋達(dá)所求的17重平方根只得到9位小數(shù)的精度。而令人望而生畏的是魯?shù)婪蛐枰止び?jì)算五打的嵌套平方根，而且每次計(jì)算都需要取35位小數(shù)。歐拉(1707～1783)將這種工作比喻為大力神海格力斯式的笨重勞動(dòng)。
所幸的是還有其他計(jì)算方法。英國數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里發(fā)現(xiàn)的反正切函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)：
反正切級(jí)數(shù)
對(duì)于x=1，得到萊布尼茨級(jí)數(shù)¼π=arctan(1)=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-...
萊布尼茨級(jí)數(shù)
雖然萊布尼茨級(jí)數(shù)優(yōu)雅和簡(jiǎn)潔，但是在計(jì)算圓周率方面沒有實(shí)用價(jià)值，因?yàn)樗氖諗克俣忍恕?/p>
然而，如果我們代入一個(gè)接近于零的x值，收斂速度就會(huì)加快。例如，令x=√3的倒數(shù)，得到
所以
這是對(duì)萊布尼茨級(jí)數(shù)的改進(jìn)，因?yàn)楦黜?xiàng)的分母增長(zhǎng)非常快。另一方面，1/√3≈0.577并不是那么小，而且這個(gè)級(jí)數(shù)包含平方根，這本身就需要取近似值。
對(duì)于一位18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家來說，理想的計(jì)算公式就是使用格雷戈里無窮級(jí)數(shù)，取充分接近于零的 x 值，同時(shí)避免求平方根。這在歐拉1779年的一篇論文中有明確的描述。他的關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)是
π=20arctan(1/7)+8arctan(3/79) (5)
初看起來像是一個(gè)印刷錯(cuò)誤。盡管似乎是不可能的，但是，這是一個(gè)等式而不是估值。下面是歐拉對(duì)它的證明。
他從恒等式
tan (α-β)正切差角公式入手，將其改寫成α-β=
歐拉令 tan α＝x /y，tanβ＝z/w，得到
或化簡(jiǎn)為
